Fourier-T von |sin(x)| < Fourier-Transformati < Transformationen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:26 Mo 06.02.2017 | | Autor: | Ardbeg |
| Aufgabe | | Bestimmen Sie die Fourier-Reihe von $ f(x)=|sin(x)| $ |
Hallo alle miteinander,
ich hätte zu dieser Aufgabe ein paar Fragen, insbesondere aber wollte ich wissen, ob denn meine Lösung soweit okay ist.
Zu Beginn habe ich mir natürlich erst einmal meine Gedanken bezüglich der Periode gemacht. Im Allgemeinen betrachten haben wir nur [mm] 2\pi [/mm] - periodische Funktionen analysiert, also würde dann gelten.
$ [mm] \omega [/mm] = [mm] \bruch{2\pi}{T}=1 [/mm] $ ; mit $ [mm] T=2\pi [/mm] $
Da gilt: $ f(-x)=f(x) $ ist die Funktion gerade, also [mm] b_{k}=0
[/mm]
$ [mm] \Rightarrow f(t)=\bruch{a_0}{2}+\summe_{k=1}^{n}(a_k\cdot{}cos(kt)) [/mm] $
Mit $ [mm] \omega [/mm] =1 $ und $ k=0 $ gilt für [mm] a_{0}
[/mm]
$ [mm] a_{0}=\bruch{1}{\pi}\cdot{}\integral_{0}^{2\pi}{f(x) dx} [/mm] $
Das Integral kann man jetzt auch unterteilen in den Intervallen $ [mm] [0,\pi] [/mm] $ und [mm] $[\pi,2\pi] [/mm] $ , damit ich den Betrag nicht mehr verwenden muss.
$ [mm] a_{0}=\bruch{1}{\pi}\cdot{}(\integral_{0}^{\pi}{sin(x) dx}+\integral_{\pi}^{2\pi}{-sin(x) dx}) [/mm] $
Jetzt kann ich noch die Vereinfachung machen, dass $ -sin(x) $ im Intervall $ [mm] [\pi,2\pi] [/mm] $ flächenidentisch zum Intervall $ sin(x) $ im Intervall $ [mm] [0,\pi] [/mm] $ ist , dann folgt:
$ [mm] a_{0}=\bruch{2}{\pi}\cdot{}\integral_{0}^{\pi}{sin(x) dx} [/mm] $
$ [mm] a_{0}=\bruch{2}{\pi}(-cos(x))_{0}^{\pi}=\bruch{4}{\pi} [/mm] $
Für [mm] a_{k} [/mm] gilt dann:
$ [mm] a_{k}=\bruch{1}{\pi}\cdot{}\integral_{0}^{2\pi}{f(x)\cdot{}cos(kx) dx} [/mm] $
$ [mm] a_{k}=\bruch{1}{\pi}\cdot{}\left(\integral_{0}^{\pi}{\sin\left(x\right)\cdot{}cos(kx) dx}+\integral_{\pi}^{2\pi}{-\sin\left(x\right)\cdot{}cos(kx) dx}\right) [/mm] $
$ [mm] a_{k}=\bruch{1}{\pi}\cdot{}(-\bruch{cos(k\pi)}{k^2-1}-\bruch{1}{{k^2-1}}-(\bruch{cos(2k\pi)}{k^2-1}-\bruch{cos(k\pi)}{k^2-1})) [/mm] $
$ [mm] a_{k}=\bruch{1}{\pi}\cdot{}(-\bruch{1}{k^2-1}-\bruch{cos(2k\pi)}{k^2-1}) [/mm] $
$ [mm] a_{k}=-\bruch{1+cos(2k\pi)}{\pi(k^2-1)} [/mm] $
Da nun aber als Indexzahl $ [mm] k\in \IN [/mm] $ ist und $ [mm] cos(k*2\pi)=1 [/mm] $ gilt, würde ich für meine Fourier-Reihe folgendes erhalten:
$ [mm] f(t)=\bruch{4}{\pi}+\summe_{k=1}^{n}-\bruch{2}{\pi(k^2-1)}\cdot{}cos(kt) [/mm] $
Und nun zu meinen Fragen. Eigentlich ist es nur eine, die aber die komplette Rechnung auf den Kopf stellen würde. Ich gehe von der Periodenlänge [mm] 2\pi [/mm] aus, aber in Wirklichkeit ist sie ja nur [mm] \pi. [/mm] Muss ich also meine sämtliche Rechnung darauf anpassen?
Danke schon einmal für eure Hilfe.
Gruß
Ardbeg
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:42 Mo 06.02.2017 | | Autor: | leduart |
Hallo
ja, du hast leider die Periode falsch und damit das Ergebnis . ( du kannst dir die Summe bis z.B. 20 auch von Wolfram alpha plotten lassen um das zu sehen.
übrigens, das ist keine Fourriertransformation, sondern die Fourriereihe
Gruß ledum
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:57 Mo 06.02.2017 | | Autor: | donquijote |
> Bestimmen Sie die Fourier-Reihe von [mm]f(x)=|sin(x)|[/mm]
> Hallo alle miteinander,
>
> ich hätte zu dieser Aufgabe ein paar Fragen, insbesondere
> aber wollte ich wissen, ob denn meine Lösung soweit okay
> ist.
>
> Zu Beginn habe ich mir natürlich erst einmal meine
> Gedanken bezüglich der Periode gemacht. Im Allgemeinen
> betrachten haben wir nur [mm]2\pi[/mm] - periodische Funktionen
> analysiert, also würde dann gelten.
>
> [mm]\omega = \bruch{2\pi}{T}=1[/mm] ; mit [mm]T=2\pi[/mm]
>
> Da gilt: [mm]f(-x)=f(x)[/mm] ist die Funktion gerade, also [mm]b_{k}=0[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow f(t)=\bruch{a_0}{2}+\summe_{k=1}^{n}(a_k\cdot{}cos(kt))[/mm]
>
> Mit [mm]\omega =1[/mm] und [mm]k=0[/mm] gilt für [mm]a_{0}[/mm]
>
> [mm]a_{0}=\bruch{1}{\pi}\cdot{}\integral_{0}^{2\pi}{f(x) dx}[/mm]
>
> Das Integral kann man jetzt auch unterteilen in den
> Intervallen [mm][0,\pi][/mm] und [mm][\pi,2\pi][/mm] , damit ich den Betrag
> nicht mehr verwenden muss.
>
> [mm]a_{0}=\bruch{1}{\pi}\cdot{}(\integral_{0}^{\pi}{sin(x) dx}+\integral_{\pi}^{2\pi}{-sin(x) dx})[/mm]
>
> Jetzt kann ich noch die Vereinfachung machen, dass [mm]-sin(x)[/mm]
> im Intervall [mm][\pi,2\pi][/mm] flächenidentisch zum Intervall
> [mm]sin(x)[/mm] im Intervall [mm][0,\pi][/mm] ist , dann folgt:
>
> [mm]a_{0}=\bruch{2}{\pi}\cdot{}\integral_{0}^{\pi}{sin(x) dx}[/mm]
>
> [mm]a_{0}=\bruch{2}{\pi}(-cos(x))_{0}^{\pi}=\bruch{4}{\pi}[/mm]
>
> Für [mm]a_{k}[/mm] gilt dann:
>
> [mm]a_{k}=\bruch{1}{\pi}\cdot{}\integral_{0}^{2\pi}{f(x)\cdot{}cos(kx) dx}[/mm]
>
> [mm]a_{k}=\bruch{1}{\pi}\cdot{}\left(\integral_{0}^{\pi}{\sin\left(x\right)\cdot{}cos(kx) dx}+\integral_{\pi}^{2\pi}{-\sin\left(x\right)\cdot{}cos(kx) dx}\right)[/mm]
>
> [mm]a_{k}=\bruch{1}{\pi}\cdot{}(-\bruch{cos(k\pi)}{k^2-1}-\bruch{1}{{k^2-1}}-(\bruch{cos(2k\pi)}{k^2-1}-\bruch{cos(k\pi)}{k^2-1}))[/mm]
>
> [mm]a_{k}=\bruch{1}{\pi}\cdot{}(-\bruch{1}{k^2-1}-\bruch{cos(2k\pi)}{k^2-1})[/mm]
>
> [mm]a_{k}=-\bruch{1+cos(2k\pi)}{\pi(k^2-1)}[/mm]
>
> Da nun aber als Indexzahl [mm]k\in \IN[/mm] ist und [mm]cos(k*2\pi)=1[/mm]
> gilt, würde ich für meine Fourier-Reihe folgendes
> erhalten:
>
> [mm]f(t)=\bruch{4}{\pi}+\summe_{k=1}^{n}-\bruch{2}{\pi(k^2-1)}\cdot{}cos(kt)[/mm]
>
> Und nun zu meinen Fragen. Eigentlich ist es nur eine, die
> aber die komplette Rechnung auf den Kopf stellen würde.
> Ich gehe von der Periodenlänge [mm]2\pi[/mm] aus, aber in
> Wirklichkeit ist sie ja nur [mm]\pi.[/mm] Muss ich also meine
> sämtliche Rechnung darauf anpassen?
Hallo,
deine Rechnung ist falsch (ohne dass ich das in Detail nachgeprüft habe), aber der Ansatz ist nicht komplett unzulässig. Grundsätzlich kannst du auch von einer Periode ausgehen, die nicht minimal ist. Wenn zu z.B. eine Funktion mit Periode [mm]\pi[/mm] asl [mm]2\pi[/mm]-periodische Funktion behandelst, bekommt du bei richtiger Rechnung trotzdem die korrekte Fourierreihe. Nur wäre in diesem Fall (mindestens) jeder zweite Koeffizient Null.
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> Danke schon einmal für eure Hilfe.
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> Gruß
> Ardbeg
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